DIAMETRES MOYENS PERIMETRIQUE ET POLAIRE. COMPARAISON

Rappelons que la quantité $D_p = P/\pi$ , quotient par $\pi$ du périmètre de la section, et dite "diamètre moyen périmétrique" (ou, de manière équivalente, "diamètre projectif moyen"), est exactement égale à la moyenne d’un très grand nombre de diamètres mesurés au pied à coulisse dans des directions régulièrement espacées en angle.

Le contour de la section étant représenté en coordonnées polaires par la longueur $r(\theta)$ du rayon vecteur, le diamètre polaire moyen correspond à la définition

$(1)\;\;\;\;<D>\: = \frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}\!\!\!r(\theta)\,d\theta$

Nous allons, dans ce qui suit, préciser la valeur de la différence $\;\Delta D\; =\;\;D_p \;-\;<D>$ .

En coordonnées polaires, le périmètre de la section s’exprime sous la forme : $(2) \;\;\;\;P = \int_0^{2\pi}\!\!\!\sqrt{r^2+\dot{r}^2}\,d\theta$ , avec $\;\dot{r}=\frac{dr(\theta)}{d\theta}$ .

Divisons (2) par $\pi$ , il vient :

$(3) \;\;\;\;\frac{P}{\pi} = \frac{1}{\pi }\int_0^{2\pi}\!\!\!\sqrt{r^2+\dot{r}^2}\,d\theta= \frac{1}{\pi }\int_0^{2\pi}\!\!\!r\sqrt{1+\dot{r}^2/r^2}\,d\theta.$ .

Utilisant le développement

$\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}- \frac{1}{8}x^2+\frac{1}{16}x^3-\frac{5}{128}x^4+...$ avec $\;\;x=\dot{r}^2/r^2$ , la relation(3) peut être écrite, en utilisant la notation "valeur moyenne" $<(...)>\;\;= \frac{1}{2\pi }\int_0^{2\pi}\!\!\!(...)\,d\theta$ , sous la forme :

$(4) \;\;\;\;\frac{P}{\pi} =\;2<r>\;+\;<\frac{\dot{r}^2}{r}>-\frac{1}{4}<\frac{\dot{r}^4}{r^3}>+\frac{1}{8}<\frac{\dot{r}^6}{r^5}>-\frac{5}{64}<\frac{\dot{r}^8}{r^7}>+...$ .

De sorte que la différence $D_p\;-\;2<r>$ peut s’écrire, avec :

$(5) \;\;\;\;\Delta D\; = \;<\frac{\dot{r}^2}{r}>-\frac{1}{4}<\frac{\dot{r}^4}{r^3}>+\frac{1}{8}<\frac{\dot{r}^6}{r^5}>-\frac{5}{64}<\frac{\dot{r}^8}{r^7}>+...$ .

La série au second membre de (5) est une série alternée convergeant très rapidement dans les conditions de la pratique courante ( sur les bornes romaines du territoire des Lémovices, les variations relatives de $r(\theta)$ se limitent à quelques % ). Cette convergence est suffisamment rapide pour que la série puisse être limitée à son premier terme. L’erreur commise dans l’évaluation de $\;\Delta D\;\;\;$ ( c’est à dire l’erreur sur la différence) est alors majorée par la valeur absolue du premier terme négligé : $\;\frac{1}{4}<\frac{\dot{r}^4}{r^3}>$ .

La différence $\;D_p \;-\;<D>$ entre les diamètres moyens s’écrit donc approximativement :

$(6)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{\overline{\left|\;\;\;\;\Delta D\;\;\approx \;<\frac{\dot{r}^2}{r}>\;\;\;\right|}}$

Si le contour de la section est parfaitement circulaire, et à condition de choisir l’origine des coordonnées en son centre, $r(\theta)$ est une constante et $\dot{r} =\,0$ . Il en résulte, d’après (5), que $\Delta D\; = 0$ . Les diamètres moyens périmétrique $D_p\;$ et polaire coïncident alors.

Avec les non circularités du contour de la section, $D_p\;$ et divergent. Nous allons voir que leur écart augmente avec l’amplitude et avec la fréquence angulaire des oscillations du rayon $r(\theta)$ autour de sa valeur moyenne.

Pour calculer plus facilement $\Delta D$ , nous ferons l’approximation supplémentaire

$(7)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Delta D\;\;\approx \;\frac{<\dot{r}^2>}{<r>}\;\;\;$

justifiée par le fait que varie peu (quelques %) et que, de plus, $\dot{r}$ est nulle lorsque passe par ses valeurs extrémales. Ce sont donc les valeurs moyennes de qui ont le plus de poids dans la calcul de (6).

Le rayon vecteur $r(\theta)$ est une fonction périodique de $\theta$ , de période $2 \pi$ . Pour calculer (7), il est commode de développer $r(\theta)$ en série de FOURIER, c’est à dire en une somme de fonctions sinusoïdales de fréquences $\frac{1}{2\pi}$ et ses multiples :

$(8)\;\;\;\;\;\; r(\theta) = b_0 + b_1 sin(\theta +\phi_1) + \sum_{n=2}^{+\infty} b_n sin(n\theta + \phi_n)$ .

Comme $<sin(n\theta +\phi_n)> =\; 0$ pour $n\geq1$ , on voit que la constante n’est autre que la valeur moyenne de $r(\theta)$ . Les deux autres quantités au second membre de (8) représentent donc le défaut de circularité du contour. Le contour est un cercle parfait, de rayon $r = \;b_0$ , lorsque les amplitudes des composantes sinusoïdales du défaut de circularité sont nulles pour $n\geq1$ .

La dérivée $\dot{r}$ de $r(\theta)$ s’écrit :

$(9)\;\;\;\;\;\; \dot{r} = b_1 cos(\theta +\phi_1) + \sum_{n=2}^{+\infty} nb_n cos(n\theta + \phi_n)$ .

On vérifie facilement que $<(nb_n cos(n\theta + \phi_n) )^{2}> = \frac{1}{2}n^{2}b_n^{2}$ et que $<(cos(n\theta + \phi_n) (cos(m\theta + \phi_m)> \;= \; {0} \;\;\;\;$ lorsque et sont différents.

Revenant à (7), il en résulte que :

$(10)\;\;\;\;\;\;\;\;\Delta D\;\;\approx \; \frac{1}{2<r>}\sum_{n=1}^{+\infty}n^{2}b_n^{2} = \frac{1}{<D>}\sum_{n=1}^{+\infty}n^{2}b_n^{2}$ .

Il est donc possible de passer du diamètre polaire moyen au diamètre moyen périmétrique par une correction additive : $(11)\;\;\;\;\;D_p =\;<D> + \;\Delta D\;\approx \;<D> +\;\frac{1}{<D>}\sum_{n=1}^{+\infty}n^{2}b_n^{2}$ .

La correction $\Delta D$ est faible si les défauts de circularité restent "raisonnables". Expérimentalement, sur les vingt bornes romaines maintenant connues en territoire lémovice, $\Delta D$ va de de 2 à 5 mm pour des diamètres moyens $D_p\;$ de l’ordre de 55 cm.

Le diamètre polaire moyen , qui vaut $2b_0\;$ , ainsi que les amplitudes des composantes sinusoïdales du défaut de circularité, sont calculables (de manière approchée) au moyen de la transformation de Fourier discrète (TFD), à partir des échantillons du contour de la section relevés au cercle gradué. Le côté approximatif de ce calcul provient du fait que le contour de la section n’est connu qu’en un nombre fini N de points d’échantillonnage. Naturellement, la précision des résultats augmente avec N. Concernant les bornes romaines en Limousin, les mesures sur le terrain nous ont montré que la valeur N = 32 ( $2^{5}$ ) est tout à fait suffisante pour obtenir la précision millimétrique nécessaire à la détermination des amplitudes et . Le choix d’une puissance de 2 pour N est lié aux possibilités d’utilisation d’algorithmes courants de transformée de Fourier rapide pour ce calcul de TFD.

( à suivre )

Dernière mise à jour : 30 octobre 2012.

DIAMETRES MOYENS PERIMETRIQUE ET POLAIRE. COMPARAISON

Rubriques

Dans la même rubrique