DIAMETRE MOYEN PERIMETRIQUE

Mesurer un grand nombre de diamètres dans des directions azimutales régulièrement réparties sur la section du fût de la borne et prendre leur moyenne arithmétique nécessite l’emploi d’un pied à coulisse de taille adaptée, demande de la précision (pour répartir régulièrement les directions de mesure) et aussi du temps... Une manière équivalente, mais considérablement plus simple et plus rapide de s’affranchir de la non circularité d’une section du fût consiste à diviser par $\pi$ le périmètre P mesuré à l’aide d’un mètre ruban et à utiliser la relation $D = P/\pi$ , bien connue dans le cas d’une section parfaitement circulaire.

Il se trouve que cette technique fournit une VALEUR EXACTE du DIAMETRE MOYEN de la section considérée, QUELLE QUE SOIT LA FORME de cette section, pourvu que cette section soit CONVEXE.

Ce résultat découle d’une formule énoncée dès 1832 et publiée en 1841 par le mathématicien français Augustin Cauchy (1789-1857), détaillée et refondée dans un article plus récent (1997) de S. Ayari et S. Dubuc.

Il est possible aussi de le déduire d’un théorème donné en 1957 par le mathématicien suisse Hugo Hadwiger (1908-1981). Si la section est représentée par le domaine convexe X et si $D_\theta$ est la longueur de la projection orthogonale de X sur la droite $\Delta$ dans la direction d’abscisse angulaire $\theta$ [fig.1], la formule de Cauchy et aussi le théorème de Hadwiger permettent d’affirmer que la quantité $\;\;F(X) = \int_0^\pi\!\!\!D_\theta\,d\theta$ est égale au périmètre P du domaine X.

$(1)\;\;F(X) = \int_0^\pi\!\!\!D_\theta\,d\theta\;= P.$

La relation (1) est aussi prouvée, plus simplement, à l’aide de mathématiques élémentaires, parmi les propriétés de l’EQUERRE OBLIQUE.

Une façon concrète d’interpréter l’intégrale (1) est de la considérer comme limite, lorsque tend vers l’infini, de la somme discrète

$(2)\;\;\; S_n = \sum_{i=1}^n D_i\Delta\theta\ = {\pi\over n} \sum_{i=1}^n D_i$

où est la longueur de la projection orthogonale du contour de X dans les directions $\theta_i = i\Delta\theta = i\pi /n,\;\;\; i= 1,2,3$ …. Les longueurs sont celles que l’on mesurerait avec un pied à coulisse [fig. 2] orienté successivement dans les directions $\Delta\theta$ , $2\Delta\theta$ , $3\Delta\theta$ ... $n\Delta\theta = \pi$ , régulièrement espacées en angle sur un demi tour, à partir d’une direction fixe arbitraire.


Figure 2

La quantité $(3)\;\;\; {1\over n} \sum_{i=1}^n D_i =\; < D_i >_n$

représente leur moyenne arithmétique et la relation (2) signifie que $S_n = \pi < D_i >_n$ .

A condition que soit assez grand, peut être rendue aussi proche que l’on veut du périmètre P du domaine X.

La relation (1) équivaut alors à dire que, lorsque tend vers l’infini, tend vers :

$(4)\;\;\; < D_i >_\infty \;\;= {P / \pi}$ .


Figure 3

En résumé, l’opération qui consiste à entourer la borne à l’aide d’un mètre ruban [fig. 3], mesurer le périmètre de la section ainsi définie et diviser par $\pi$ le résultat de la mesure, fournit un diamètre moyen qui est théoriquement équivalent à celui obtenu en faisant la moyenne d’une infinité de mesures de diamètres effectuées au pied à coulisse selon des directions régulièrement réparties en angle dans la section [fig. 2].

Il n’est pas possible, évidemment, d’effectuer une infinité de mesures de diamètres. En pratique ni le diamètre moyen issu d’une infinité de mesures, ni même le diamètre périmétrique issu de la longueur P du contour ne sont mesurables parfaitement. Concernant le second, par exemple, la granulosité de la pierre, les salissures de la surface, font que la section ne peut être considérée comme parfaitement convexe à toutes les échelles. Le trajet du mètre ruban « survole » les aspérités du contour [figure 4] et le résultat final $D_p = {P / \pi}$ se trouve généralement en léger excès par rapport à celui obtenu avec d’autres méthodes de mesure. L’obliquité éventuelle du plan de mesure peut aussi être une cause d’allongement intempestif du périmètre mesuré [figure 5]. Il est important de réaliser aussi parfaitement que possible la perpendicularité du plan de mesure à l’axe médian du fût de la borne. Pour un opérateur agissant seul il n’est pas facile d’obtenir cette perpendicularité avec un mètre ruban standard.


Figure 5


Figure 6

L’emploi d’un mètre ruban « mains libres » permet de prendre du recul et d’assurer au mieux cette mise en place [figure 6]. La mesure du diamètre moyen au pied à coulisse n’est pas parfaite non plus car il faut bien se contenter d’un nombre fini de mesures...

Comme la perpendicularité du plan de mesure à l’axe du fût doit être assurée, il est pratique pour cela d’avoir préalablement tracé à la craie le contour de la section à mesurer. Le jeu consiste donc à effectuer mesures de diamètres en tournant autour de la borne d’un angle $\pi / n$ entre chaque mesure. Un écart angulaire constant entre les mesures dispense d’avoir à pondérer ces mesures successives de diamètre par la valeur des écarts angulaires correspondants (dans l’équation (2) un écart $\Delta\theta$ constant « traverse » le signe somme discrète $\Sigma$ ). La quantité (équation (2)) est alors, à $\pi \;$ près, la moyenne arithmétique simple des diamètres mesurés. tend vers le périmètre P de la section lorsque tend vers l’infini. La question qui se pose ensuite naturellement est : combien faut-il faire de mesures au pied à coulisse pour assurer une précision donnée à priori au diamètre moyen final ?

Bien sûr, la précision d’une mesure de diamètre moyen dépend de l’état de surface de la borne et du soin apporté à la mesure. Les résultats expérimentaux qui suivent correspondent à des moyennes effectuées sur une vingtaine de bornes routières gallo-romaines du territoire des Lémovices, essentiellement en Creuse et en Haute-Vienne.

Au pied à coulisse [fig. 2], la convergence des résultats de mesure en fonction du nombre de diamètres intervenant dans la moyenne est très rapide. Les résultats qui suivent sont issus de mesures expérimentales pratiquées sur une vingtaine de bornes routières romaines du territoire des Lémovices dont le diamètre moyen s’établit autour de 55 cm. Ces résultats sont référencés à la valeur limite correspondant à une moyenne sur 64 diamètres régulièrement répartis en direction sur chaque section de borne (il est totalement inutile d’augmenter ce nombre). L’erreur maximale à craindre est de 8 mm pour deux diamètres perpendiculaires. Elle n’est plus que de 1,5 mm pour quatre diamètres, et tombe en-dessous du millimètre pour huit diamètres et au-delà.

Dernière mise à jour : 7 juin 2023

(à suivre)

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