bornimétrieL’équivalence
citée à la page GÉNÉRALITÉS SUR LES DIAMETRES MOYENS, peut être démontrée de diverses manières. Parmi elles, trois voies ont été choisies : la première (A) et la seconde (B) pour leur simplicité, la troisième (C) en raison de sa généralité et de son caractère unificateur.
A) APPROXIMATION POLYGONALE :
1) Démontrer (1) pour des polygones convexes de 
. Cela suppose, pour calculer 
, d’envisager la courbure locale des contours de sections de bornes au sens des distributions ( la courbure C est nulle sur les côtés et infinie aux sommets des polygones !...). Ou bien on se contente "d’arrondir les angles" et de faire tendre vers zéro le rayon des arrondis. Le calcul de 
peut aussi présenter une difficulté car le rayon de courbure des côtés d’un polygone est infini. On s’en sort en remplaçant chacun des côtés du polygone par un arc de cercle de très grand rayon et en faisant tendre ce rayon vers l’infini.
2) N étant le nombre de côtés d’un polygone convexe inscrit dans le domaine X à étudier et sup(
) pour 
= 1, 2 ......, N représentant la longueur de son côté le plus long, faire tendre sup() vers 0 pour le calcul de 
et 
.
B) VOIR LA THÉORIE DE L’ÉQUERRE OBLIQUE
C) UTILISATION DU THÉORÈME DE HADWIGER :
1) 
étant l’un quelconque des 
, 
, ou , on montre que l’application F qui, au domaine convexe X de , fait correspondre le nombre réel (X), est une fonctionnelle de MINKOWSKI :
a) F est continue ;
b) F est invariante par déplacement (translation ou rotation) de X ;
c) si X, Y et X
Y sont convexes, alors : F(XY) + F(X
Y) = F(X) + F(Y).
On montre aussi que F est une fonctionnelle homogène de degré 1 :
d) Si 
est un réel positif ou nul et si X est le convexe déduit de X par une similitude de rapport , alors
F(X) = F(X).
Il en résulte, d’après le théorème de Hadwiger, que (X) est de la forme (X) = G
où G est une constante indépendante du domaine convexe X choisi et le périmètre de X.
2) Pour calculer G, on a donc le choix du domaine X. Il suffit d’appliquer F à un disque circulaire pour vérifier très simplement que G = 1/
.
Ainsi, et sont tous égaux à 
.
Dernière mise à jour : 21 août 2013.
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