DIAMETRE MOYEN QUADRATIQUE (ou "SURFACIQUE")

Rayon moyen quadratique

La section du fût de la borne est rapportée à un système d’axes rectangulaires Oxy dont l’origine O est choisie à l’intérieur de la section. Cette section est décrite, en coordonnés polaires, par le rayon vecteur $OP=\rho(\theta)$ [fig.1]. La surface S de la section peut être calculée au moyen de l’intégrale unidimensionnelle :

$(1) \;\;\;\;S = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\!\!\!\rho^2(\theta)\,d\theta.$

La quantité

$(2)\;\;\;\;<R^2>\: =\: S/\pi = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\!\!\!\rho^2(\theta)\,d\theta$

apparaît comme la valeur moyenne, sur l’intervalle $[\:0, 2\,\pi]$ , du carré du rayon vecteur $OP\!=\rho(\theta).$ Sa racine carrée $\;R_S = \sqrt{S/\pi}$ est la moyenne quadratique du rayon OP. Nous avons donc :

$(3)\;\;\;\;R_S= \sqrt{<R^2>} = \frac{\sqrt{S}}{\sqrt{\pi}} = 0,\!56419\,\sqrt{S}.$

Notons que la valeur de , calculée à partir de la seule surface S, ne dépend pas de la position de l’origine des coordonnées dans la section. Si les rayons OP sont mesurés au cercle gradué à divisions, la surface S calculée est celle d’un polygone à sommets inscrit dans la section [Fig.2]. Le résultat trouvé est donc légèrement trop petit et une correction additive est nécessaire. Lorsque est assez grand, cette correction est faible et peut être calculée en supposant la section parfaitement circulaire. Entre la surface $\pi R^2$ d’un cercle de rayon R et celle $N( R^2/2)sin(2\pi /N)$ d’un polygone régulier à sommets inscrit dans ce cercle, la différence relative $\Delta S/S$ est

$(4)\;\;\;\; \frac{\pi R^2-N( R^2/2) sin(2\pi /N)}{ N( R^2/2) sin(2\pi /N)},$

c’est à dire

$(5)\;\;\;\; \frac{\Delta S }{S}= \frac{2\pi/N}{sin(2\pi/N)}-1.$

Pour = 32 on obtient $\Delta S/S = 6,45\;10^{-3}.$ Une valeur approchée de (5) est obtenue en faisant usage de la relation valable aux petits angles $\varepsilon$ : $sin(\varepsilon) \approx \varepsilon-\varepsilon^{3}/6+\varepsilon^{5}/120$ . En limitant le développement de (5) aux deux premiers termes en $\varepsilon =2\pi /N$ , il vient :

$(6)\;\;\;\; \frac{\Delta S }{S}\approx \varepsilon^{2}/6+7\,\varepsilon^{4}/360.$

Pour = 32 cette relation donne $\Delta S/S \approx 6,45\;10^{-3}.$

En d’autres termes, la surface d’un polygone à 32 sommets, inscrit dans la section du fût de la borne, doit être multipliée par 1,00645 pour donner une estimation correcte de la surface de cette section. Une telle correction correspond à 0,89 mm seulement sur un rayon de 27,5 cm et peut paraître superflue au premier abord. Mais son utilité apparaît lors de l’évaluation de la variance de OP (moyenne du carré des fluctuations du rayon autour de sa valeur moyenne).

( à suivre...)

DIAMETRE MOYEN QUADRATIQUE (ou "SURFACIQUE")

Rubriques

Dans la même rubrique